Ferramentas matemáticas estudam dinâmica de opinião conforme pesquisa publicada no SIAM, Journal on Applied Mathematics, que descreve modelo matemático de influência nas redes sociais através de ferramentas da topologia, ou, estudo matemático das propriedades preservadas via de deformações, torções e alongamentos de objetos. Jakob Hansen rastreou como as opiniões mudam ao longo do tempo em cenários diversos, incluindo indivíduos com comportamentos enganosos e agentes de propaganda que conduzem o consenso de um grupo. Em matemática o desenvolvimento de modelos diversificados estuda o comportamento nas redes, significando estudar redes, grupos de indivíduos conhecidos e suas conexões chamadas de arestas. O desafio é desenvolver estruturas matemáticas que incorporam recursos para modelar cenários do mundo real através de ferramentas topológicas chamadas feixes, ou, estruturas de dados algébricos, ou, coleções de espaços vetoriais amarrados a uma rede conectando informações aos nós ou arestas individuais.
Um dos conceitos que possibilitam este trabalho foi a incorporação de equações que modelam problemas físicos como potencial elétrico e gravitacional, propagação de ondas, condução de calor e fluidos, além da dinâmica de difusão no modelo que descobriu que indivíduos com opinião escalonada sobre um tópico específico como a opinião do presidente de 1 a 10, ao interagir com vizinhos na rede moveria sua opinião no sentido da média local. Em tese, "significa que quanto mais falamos uns com os outros nas redes sociais, mais passamos acreditar na mesma coisa, nos levando ao problema de explicar a clivagem ou polarização". O modelo da dinâmica de opinião flexível incorpora uma variedade de cenários, parâmetros e recursos, incluindo a capacidade de agentes que mentem sobre seus sentimentos, sobre um tópico específico, ou, emitir opiniões diferentes dependendo de como estão conectados, tudo, em estrutura matemática rigorosa e testável. "A principal inovação matemática permite que o sistema evolua de tal modo que prove resultados sobre consenso público onde as pessoas começam como vizinhas e, muito em desacordo, naturalmente evolui à acordo público podendo manter opiniões privadas". A "co-homologia" é outra descoberta caracterizada quando o modelo é observável e controlável, significando que pode fazer uma rede social evoluir à opinião particular designando agentes específicos como entradas que transmitem propaganda e outros como resultados que rastreiam mudanças de opinião.
Moral da Nota: o fosso entre esquerda e direita política confunde teóricos da ciência política e da dinâmica da opinião. Neste contexto, pesquisadores do Complexity Science Hub Vienna, CSH, oferecem explicação em modelo desenvolvido de 'Teoria do Equilíbrio Ponderado',WBT, publicado no Journal of Artificial Societies and Social Simulation, JASSS, que enxerga as emoções sociais como força motriz da dinâmica da opinião política. Certo grau de polarização de opiniões políticas é considerado normal e, até benéfico à saúde da democracia, entretanto, visões conservadoras e liberais se distanciaram e, ao mesmo tempo tornaram mais consistentes, daí, o excesso de polarização que pode ser mortal à capacidade combater ameaças como a pandemia, por exemplo. A simulação por modelo matemático demonstra o surgimento da hiperpolarização, demostrando a ligação entre emoções sociais e divergência de opinião. Um círculo vicioso de emoções e opiniões intensas substitui posições moderadas até que a maioria das questões seja vista do mesmo modo, tudo, extremamente polarizado. A combinação de extremismo e correlação entre questões políticas, segundo Simon Schweighofer, denominada de hiperpolarização, é"negligenciada nas teorias sociais sobre a formação de opinião. Um modelo de equilíbrio ponderado integra pesquisas da psicologia, ciência política e dinâmica de opinião em estrutura teórica abrangente oferecendo perspectiva sobre o surgimento de conflito político. Espera-se que pesquisas em outros campos, da economia à neurociência, considerem tais ferramentas pela sua adaptabilidade e flexibilidade.