Padrões infinitos

Os fractais são ferramentas importantes em áreas diversas desde estudos sobre mudanças climáticas a trajetória de meteoritos além de pesquisas sobre câncer identificando crescimento de células mutantes ou na criação de filmes de animação, não existindo definição simples e precisa já que são padrões matemáticos infinitos apelidados de 'impressão digital de Deus' inserido no emblemático conjunto de Julia, inventado e estudado na 1ª Guerra Mundial pelos matemáticos franceses Gaston Julia e Pierre Fatou. Como tantas outras questões na ciência e na matemática moderna, discussões sobre a "geometria fractal" podem gerar confusão para quem não está imerso nesse universo sendo o termo 'Fractal' cunhado por Benoit Mandelbrot, matemático polonês nacionalizado francês e, depois, americano.  Mandelbrot não cursou os 2 primeiros anos de escola e, como judeu na devastada Europa pela guerra, sua educação sofreu interrupções graves, daí, em grande parte, ter sido autodidata ou ensinado por familiares, nunca aprendeu formalmente o alfabeto, tampouco foi além da tabuada de multiplicação por 5, no entanto, tinha capacidade enxergar regras onde se via anarquia sendo capaz de identificar forma e estrutura onde todos viam apenas desorganização disforme. Passou a vida procurando base matemática simples às formas irregulares do mundo real, parecendo cruel à ele que os matemáticos tivessem passado séculos contemplando formas idealizadas como linhas retas ou círculos perfeitos escrevendo que "as nuvens não são esferas, as montanhas não são cones, os litorais não são círculos e as cascas das árvores não são lisas, tampouco os raios se deslocam em linha reta", o caos e a irregularidade do mundo que chamava de "aspereza" era algo a ser celebrado, para ele, seria uma pena se as nuvens fossem realmente esferas e as montanhas, cones, no entanto, não tinha modo adequado ou sistemático de descrever as formas ásperas e imperfeitas que dominam o mundo real.

Trabalhou na IBM em fins da década de 1950 para acessar o processamento computadorizado da companhia e fluir sua obsessão pela matemática da natureza e, munido de um supercomputador de última geração, estudou equação curiosa e estranhamente simples que poderia ser usada para desenhar formato incomum, inserido no conceito de que quanto mais de perto você examinar a imagem, mais detalhes verá e cada forma dentro do conjunto contém um número de formas menores que contêm um número de outras formas ainda menores e, assim por diante, sem fim. Em teoria, continuaria criando infinitamente novos padrões a partir da estrutura original demonstrando que algo poderia ser ampliado para sempre, no entanto, essa complexidade vem de uma equação incrivelmente simples nos obrigando repensar a relação entre simplicidade e complexidade, daí, imaginar que há algo em nossas mentes que diz que a complexidade não surge da simplicidade, que deve surgir de algo complicado e que a matemática nos diz que regras muito simples dão origem naturalmente a objetos muito complexos, essa, a grande revelação e conceito surpreendente. Certamente produzirão um certo tipo de padrão não significando que somos capazes de prever formas exatas, pois algumas variações naturais causadas pelas diferentes estações do ano, pelo vento ou acidente ocasional, as tornam únicas, querendo dizer que a matemática fractal não pode ser usada para prever grandes eventos em sistemas caóticos, movidos por regras, mas pode nos dizer que tais eventos acontecerão, daí, considerar que a matemática fractal, com o campo relacionado da teoria do caos, revelou a beleza oculta do mundo e inspirou cientistas em áreas como a cosmologia, medicina, engenharia e genética, além de artistas e músicos mostrando que o universo é fractal e intrinsecamente imprevisível.

Moral da Nota: em matemática, um objeto auto-similar se assemelha exatamente ou aproximadamente a uma parte de si mesmo, com Mandelbrot percebendo que a auto-similaridade era a base de um tipo completamente novo de geometria, a que deu o nome de fractal, mas que também costuma ser chamada de "a impressão digital de Deus", daí,  Auto-similaridade é o conceito de que um objeto ou sistema pode ser idêntico a si mesmo em diferentes escalas, também chamada por Mandelbrot de homotetia interna, consistindo em se obterem réplicas menores da figura através de sua divisão ou no caso dos fractais, de sua ampliação. A auto-similaridade exata, ou seja, a variação do comprimento de escala, sob a qual o fractal é analisado é característica associada aos fractais gerados por sistemas de funções iterativas, quer dizer,  objeto ou sistema pode ser idêntico a si mesmo em diferentes escalas, propriedade importante encontrada na natureza, como no caso da formação de nuvens, folhas de árvores e outros padrões. A modelagem matemática desempenha papel crucial na investigação de doenças infecciosas, valiosa em analisar padrões e a dinâmica de doenças como HIV, TB, AIDS e vírus influenza, incorporando variáveis como características da doença, taxas populacionais e de conexão, sendo que modelos matemáticos podem retratar a interconexão de membros suscetíveis, infectados e recuperados. Preveem o aparecimento de doenças e avaliam eficácia de estratégias, tais como medicação, quarentena, vacinação e isolamento com base na disponibilidade de dados tais como acesso médico, alterações demográficas e taxas de estadiamento de doenças em estruturas computacionais alimentadas por dados em tempo real modificando e fornecendo estimativas atualizadas, que poderia orientar programas de saúde pública e impactar decisões políticas. Já, Modelos matemáticos de frações fractais fornecem estrutura intrigante e avançada para examinar variações intrincadas e auto-repetidas em variedade de sistemas contrastando com modelos matemáticos padrão que dependem de dimensões inteiras, enquanto os modelos fractais fractais abraçam o conceito de dimensões fracionárias permitindo representação de padrões complicados observados na natureza, na arte e nos mercados financeiros. Trabalhos inovadores sobre fractais, caos, cálculo fracionário, equações diferenciais e aprendizado de máquina apresentam compreensão aprimorada e modelos à problemas matemáticos complexos enquanto Modelos de doenças fractais oferecem abordagem para estudar a dinâmica das doenças e sua transmissão entre as populações influenciados pelo cálculo fracionário e geometria fractal, fornecendo informações sobre a estrutura complexa e interconectada da propagação de doenças. Levam em consideração o conceito de cálculo fracionário que explica o comportamento fracionário da propagação da doença utilizando ordem não inteira, retrato mais preciso da memória de longo prazo e da dependência da dinâmica da doença fornecido por esta abordagem fracionária, além de simulações fractais de doenças fracionárias capturando persistência e dinâmica recorrente observada em doenças infecciosas, envolvendo o significado de memória.

Deus e a matemática

Considerando os últimos mil anos,  matemáticos buscam uma prova lógica à existência de Deus, deixando em aberto a questão se Deus pode ser provado matematicamente. Provar a existência de um ser divino, de Descartes e  Pascal no século 17, Leibniz no século 18 e Godel no século 20, este, com escritos publicados em 1987, sendo que, em estudo de pré-impressão publicado em 2013, o assistente de prova algorítmica checou a cadeia lógica de raciocínio de Godel e descobriu que estava correta. Godel prova que a existência de algo que definiu como divino,  decorre de suposições justificadas podendo ser questionadas. Coisas observáveis ​ no ambiente, como animais por exemplo, podem ser verificadas por investigação científica mas em se tratando de prova da existência divina, a questão complica.

Abordagens ontológicas que lidam com a natureza do ser são convincentes, mesmo que não mudem a mente dos incrédulos.  O conceito que Deus como ser além do qual nada maior pode ser pensado, imaginado por Anselmo De Cantuária no século XI,  e, se Deus não existe, pode-se imaginar algo maior: um ser além do qual nada maior pode ser contemplado, ideia prevalente, até Descartes no século XVII argumentar à existência divina um ser perfeito até que Leibniz  no século XVIII viu falhas ao afirmar que Descartes não demonstrou as “propriedades perfeitas” de certas entidades.  Sob o argumento que a perfeição não poderia ser investigada adequadamente, portanto, nunca seria refutado que as propriedades perfeitas se unem em um ser, assim, a possibilidade de um ser divino seria real co base nos argumentos de Anselmo e Descartes, segue-se necessariamente que Deus existe. Leibniz, Descartes e Godel basearam em prova ontológica de Deus  deduzindo a existência de um ser divino a partir da sua possibilidade por inferência lógica, quer dizer, deduzir um resultado com base na interpretação de outras informações,  enquanto, Pascal no século XVII analisou a questão do ponto de vista considerado hoje como teoria dos jogos desenvolvendo a aposta de Pascal. Considera duas possibilidades, ou, Deus existe. ou não,  examinando  as consequências de crer ou não em Deus após a morte e se existe um ser divino e se acreditamos nele, iremos ao paraíso; caso contrário, ao inferno.  Pascal argumenta que se Deus não existe, nada mais acontece e a melhor estratégia é crer em Deus, pois na melhor das hipóteses, acabamos no paraíso; no pior cenário nada acontece e, se não acreditamos, na pior das hipóteses acabamos no inferno.

Moral da Nota: do ponto de vista matemático, experimentos mentais por esforços de Godel mostram que a matemática contém afirmações verdadeiras que não podem ser provadas e, ao fazer isso, faz uso da lógica que lhe permite provar a existência de Deus.  O pensamento de Godel  começa com um axioma, uma suposição,  se φ tem a propriedade P e de φ sempre segue ψ, então ψ também tem a propriedade P.  Supomos que P significa “positivo”,  se uma fruta é agradável, propriedade positiva, então é divertida de comer, portanto, a diversão de comê-la é propriedade positiva. O segundo axioma estabelece estrutura para P., se o oposto de algo é positivo, então esse “algo” deve ser negativo,  Godel dividiu o mundo em preto e branco ou algo é bom ou ruim,  se a saúde é boa então a doença deve ser ruim. Com essas premissas Godel deriva seu primeiro teorema argumentando que  se φ é uma propriedade positiva existe a possibilidade de existir um x com propriedade φ, ou seja, é possível que coisas positivas existam. Volta-se à definição de um ser divino, x é divino se possui propriedades positivas φ, o segundo axioma assegura que Deus assim definido não pode ter características negativas,  caso contrário, criar-se-ia contradição. O terceiro axioma diz que a divindade é característica positiva,  ponto não discutível porque a divindade combina todas características positivas. O segundo teorema combina o terceiro axioma, a divindade é positiva, e o primeiro teorema, existe a possibilidade que algo positivo exista, poderia existir um ser x que é divino. O foco de Godel é que Deus deve  existir na estrutura que foi apresentada, para tanto, introduz na segunda definição a “essência” φ de um objeto x,  propriedade característica que determina outras características. O quarto axioma afirma que se algo é positivo,  é sempre positivo, não importa o tempo, situação ou lugar, ter um bom gosto por exemplo, é sempre positivo, durante o dia ou à noite em qualquer lugar. O terceiro teorema:, se um ser x é divino,  a divindade é sua propriedade essencial, quer dizer, se algo é divino, possui características positivas e, portanto, propriedades de x são fixas. Quanto à existência de um determinado ser e se em algum lugar um ser y possui a propriedade φ, propriedade essencial de x, então x também existe,  Isto é, se algo é parecido com um filhote, então filhotes devem existir. O quinto axioma, a existência é uma propriedade positiva, daí, concluir que Deus existe porque este ser possui propriedades positivas e a existência é positiva. Os argumentos acima são chamados de inferências lógicas de Godel e são tidos como corretos e até os computadores provam isso, no entanto, essas inferências atraíram críticas pois Godel não dá detalhes sobre o que é uma propriedade positiva.

Modelo matemático

Ferramentas matemáticas estudam dinâmica de opinião conforme pesquisa publicada no SIAM, Journal on Applied Mathematics, que descreve modelo matemático de influência nas redes sociais através de ferramentas da  topologia, ou,  estudo matemático das propriedades preservadas via de deformações, torções e alongamentos de objetos. Jakob Hansen rastreou como as opiniões mudam ao longo do tempo em  cenários diversos, incluindo indivíduos com comportamentos enganosos e agentes de propaganda que conduzem o consenso de um grupo. Em matemática o desenvolvimento de modelos diversificados estuda o comportamento nas redes, significando estudar redes, grupos de indivíduos conhecidos e suas conexões chamadas de arestas.  O desafio é desenvolver estruturas matemáticas que incorporam recursos para modelar cenários do mundo real através de ferramentas topológicas chamadas feixes, ou, estruturas de dados algébricos, ou, coleções de espaços vetoriais amarrados a uma rede conectando informações aos nós ou arestas individuais. 

Um dos conceitos que possibilitam este trabalho foi a incorporação de equações que modelam problemas físicos como potencial elétrico e gravitacional, propagação de ondas, condução de calor e fluidos, além da  dinâmica de difusão no modelo que descobriu que indivíduos com opinião escalonada sobre um tópico específico como a opinião do presidente de 1 a 10, ao interagir com vizinhos na rede moveria sua opinião no sentido da média local.  Em tese, "significa que quanto mais falamos uns com os outros nas redes sociais, mais passamos acreditar na mesma coisa, nos levando ao problema de explicar a clivagem ou polarização". O modelo da dinâmica de opinião flexível incorpora uma variedade de cenários, parâmetros e recursos, incluindo a capacidade de agentes que mentem sobre seus sentimentos, sobre um tópico específico, ou, emitir opiniões diferentes dependendo de como estão conectados, tudo, em  estrutura matemática rigorosa e testável.  "A principal inovação matemática permite que o sistema evolua de tal modo que prove resultados sobre consenso público onde as pessoas começam como vizinhas e, muito em desacordo,  naturalmente evolui à acordo público  podendo manter opiniões privadas".  A "co-homologia" é outra descoberta caracterizada quando o modelo é observável e controlável,  significando que pode fazer uma rede social evoluir à opinião particular designando agentes específicos como entradas que transmitem propaganda e outros como resultados que rastreiam mudanças de opinião. 

Moral da Nota: o fosso entre esquerda e direita política confunde teóricos da ciência política e da dinâmica da opinião. Neste contexto, pesquisadores do Complexity Science Hub Vienna, CSH, oferecem explicação em modelo desenvolvido de 'Teoria do Equilíbrio Ponderado',WBT, publicado no Journal of Artificial Societies and Social Simulation, JASSS, que enxerga as emoções sociais como força motriz da dinâmica da opinião política. Certo grau de polarização de opiniões políticas é considerado normal e, até benéfico à saúde da democracia, entretanto, visões conservadoras e liberais se distanciaram e, ao mesmo tempo tornaram mais consistentes, daí,  o excesso de polarização que pode ser mortal à capacidade combater ameaças como a pandemia, por exemplo. A simulação por modelo matemático demonstra o surgimento da hiperpolarização, demostrando a ligação entre emoções sociais e divergência de opinião. Um círculo vicioso de emoções e opiniões intensas substitui posições moderadas até que a maioria das questões seja vista do mesmo modo, tudo, extremamente polarizado. A combinação de extremismo e correlação entre questões políticas, segundo Simon Schweighofer, denominada de hiperpolarização, é"negligenciada nas teorias sociais sobre a formação de opinião. Um modelo de equilíbrio ponderado integra pesquisas da psicologia, ciência política e dinâmica de opinião em estrutura teórica abrangente oferecendo perspectiva sobre o surgimento de conflito político. Espera-se que pesquisas em outros campos, da economia à neurociência, considerem tais ferramentas pela sua adaptabilidade e flexibilidade.