Os fractais são ferramentas importantes em áreas diversas desde estudos sobre mudanças climáticas a trajetória de meteoritos além de pesquisas sobre câncer identificando crescimento de células mutantes ou na criação de filmes de animação, não existindo definição simples e precisa já que são padrões matemáticos infinitos apelidados de 'impressão digital de Deus' inserido no emblemático conjunto de Julia, inventado e estudado na 1ª Guerra Mundial pelos matemáticos franceses Gaston Julia e Pierre Fatou. Como tantas outras questões na ciência e na matemática moderna, discussões sobre a "geometria fractal" podem gerar confusão para quem não está imerso nesse universo sendo o termo 'Fractal' cunhado por Benoit Mandelbrot, matemático polonês nacionalizado francês e, depois, americano. Mandelbrot não cursou os 2 primeiros anos de escola e, como judeu na devastada Europa pela guerra, sua educação sofreu interrupções graves, daí, em grande parte, ter sido autodidata ou ensinado por familiares, nunca aprendeu formalmente o alfabeto, tampouco foi além da tabuada de multiplicação por 5, no entanto, tinha capacidade enxergar regras onde se via anarquia sendo capaz de identificar forma e estrutura onde todos viam apenas desorganização disforme. Passou a vida procurando base matemática simples às formas irregulares do mundo real, parecendo cruel à ele que os matemáticos tivessem passado séculos contemplando formas idealizadas como linhas retas ou círculos perfeitos escrevendo que "as nuvens não são esferas, as montanhas não são cones, os litorais não são círculos e as cascas das árvores não são lisas, tampouco os raios se deslocam em linha reta", o caos e a irregularidade do mundo que chamava de "aspereza" era algo a ser celebrado, para ele, seria uma pena se as nuvens fossem realmente esferas e as montanhas, cones, no entanto, não tinha modo adequado ou sistemático de descrever as formas ásperas e imperfeitas que dominam o mundo real.
Trabalhou na IBM em fins da década de 1950 para acessar o processamento computadorizado da companhia e fluir sua obsessão pela matemática da natureza e, munido de um supercomputador de última geração, estudou equação curiosa e estranhamente simples que poderia ser usada para desenhar formato incomum, inserido no conceito de que quanto mais de perto você examinar a imagem, mais detalhes verá e cada forma dentro do conjunto contém um número de formas menores que contêm um número de outras formas ainda menores e, assim por diante, sem fim. Em teoria, continuaria criando infinitamente novos padrões a partir da estrutura original demonstrando que algo poderia ser ampliado para sempre, no entanto, essa complexidade vem de uma equação incrivelmente simples nos obrigando repensar a relação entre simplicidade e complexidade, daí, imaginar que há algo em nossas mentes que diz que a complexidade não surge da simplicidade, que deve surgir de algo complicado e que a matemática nos diz que regras muito simples dão origem naturalmente a objetos muito complexos, essa, a grande revelação e conceito surpreendente. Certamente produzirão um certo tipo de padrão não significando que somos capazes de prever formas exatas, pois algumas variações naturais causadas pelas diferentes estações do ano, pelo vento ou acidente ocasional, as tornam únicas, querendo dizer que a matemática fractal não pode ser usada para prever grandes eventos em sistemas caóticos, movidos por regras, mas pode nos dizer que tais eventos acontecerão, daí, considerar que a matemática fractal, com o campo relacionado da teoria do caos, revelou a beleza oculta do mundo e inspirou cientistas em áreas como a cosmologia, medicina, engenharia e genética, além de artistas e músicos mostrando que o universo é fractal e intrinsecamente imprevisível.
Moral da Nota: em matemática, um objeto auto-similar se assemelha exatamente ou aproximadamente a uma parte de si mesmo, com Mandelbrot percebendo que a auto-similaridade era a base de um tipo completamente novo de geometria, a que deu o nome de fractal, mas que também costuma ser chamada de "a impressão digital de Deus", daí, Auto-similaridade é o conceito de que um objeto ou sistema pode ser idêntico a si mesmo em diferentes escalas, também chamada por Mandelbrot de homotetia interna, consistindo em se obterem réplicas menores da figura através de sua divisão ou no caso dos fractais, de sua ampliação. A auto-similaridade exata, ou seja, a variação do comprimento de escala, sob a qual o fractal é analisado é característica associada aos fractais gerados por sistemas de funções iterativas, quer dizer, objeto ou sistema pode ser idêntico a si mesmo em diferentes escalas, propriedade importante encontrada na natureza, como no caso da formação de nuvens, folhas de árvores e outros padrões. A modelagem matemática desempenha papel crucial na investigação de doenças infecciosas, valiosa em analisar padrões e a dinâmica de doenças como HIV, TB, AIDS e vírus influenza, incorporando variáveis como características da doença, taxas populacionais e de conexão, sendo que modelos matemáticos podem retratar a interconexão de membros suscetíveis, infectados e recuperados. Preveem o aparecimento de doenças e avaliam eficácia de estratégias, tais como medicação, quarentena, vacinação e isolamento com base na disponibilidade de dados tais como acesso médico, alterações demográficas e taxas de estadiamento de doenças em estruturas computacionais alimentadas por dados em tempo real modificando e fornecendo estimativas atualizadas, que poderia orientar programas de saúde pública e impactar decisões políticas. Já, Modelos matemáticos de frações fractais fornecem estrutura intrigante e avançada para examinar variações intrincadas e auto-repetidas em variedade de sistemas contrastando com modelos matemáticos padrão que dependem de dimensões inteiras, enquanto os modelos fractais fractais abraçam o conceito de dimensões fracionárias permitindo representação de padrões complicados observados na natureza, na arte e nos mercados financeiros. Trabalhos inovadores sobre fractais, caos, cálculo fracionário, equações diferenciais e aprendizado de máquina apresentam compreensão aprimorada e modelos à problemas matemáticos complexos enquanto Modelos de doenças fractais oferecem abordagem para estudar a dinâmica das doenças e sua transmissão entre as populações influenciados pelo cálculo fracionário e geometria fractal, fornecendo informações sobre a estrutura complexa e interconectada da propagação de doenças. Levam em consideração o conceito de cálculo fracionário que explica o comportamento fracionário da propagação da doença utilizando ordem não inteira, retrato mais preciso da memória de longo prazo e da dependência da dinâmica da doença fornecido por esta abordagem fracionária, além de simulações fractais de doenças fracionárias capturando persistência e dinâmica recorrente observada em doenças infecciosas, envolvendo o significado de memória.